fundamental group分类曲面是足够精细的
- Poincaré conjecture(已证明) : fundamental group trival -> 曲面trival
- closed, connected, fundamental group 是trival的曲面和球面是homeomorphic(同胚)的.
- 与之相比, homology(同调) group trival -/-> 曲面trival
- 同调球 作为反例
- 对于oriented surface, fundamental group同构 <-> 拓扑同胚.
- 把$\pi_1(S,p)$ 的一组basis做为cut graph, 把曲面切成4g的polygonal scheme. 以此构造homeomorphism.
word group 表示
| fundamental group $\pi_1(S,p)=\Gamma/\sim$ | word group representation $<G\vert R>$ | |
|---|---|---|
| 生成元 | $S$ 上经过点$p$ 的loop | n symbols $G=\lbrace g_1,g_2,\cdots,g_n\rbrace$ (see free generated group ) |
| 等价关系 | homotopy(同伦): $\gamma_1\sim \gamma_2$ $\gamma_1$ 可以连续变换成$\gamma_2$ |
relations $R=\lbrace R_1,R_2,\cdots,R_m\rbrace$ 是有m个words的集合 $w_1$ 可以通过有限步的插入, 移除relation变为$w_2$ |
| 群运算 | ||
| identity | 基点 $p$ | $\emptyset$ |
| 乘法 | 两条路径首尾相接 | 字符串拼接 |
| inverse | 路径方向相反 | 字符串反向 |
| 特例 | ||
| torus | $\pi_1(T,p)$ 任意$\gamma$ 分解成不和$a,b$ 相交的$\gamma_i$ 的积 |
$<a,b\vert \ aba^{-1}b^{-1}>$ |
| $\mathbb {R}P^2$ Möbius band $\cup_{\partial M}$ disk |
$\pi_1(\mathbb{R}P^2)=\lbrace\gamma,e\rbrace$ $\pi_1(\partial M)=<\gamma^2>$ |
$<\gamma\ \vert\ \gamma^2>$ |
| 性质 | ||
| 合并 | $\pi_1(U\cup V, p)$ | $<u_1,\dots,u_k,v_1,\dots,v_m\vert \alpha_i,\beta_j,i(w_1)j(w_1)^{-1},\dots,i(w_p)j(w_p)^{-1}>$ |
| 联通和 | $\pi_1(S_1 \texttt{#} S_2)$ | |
| $\pi_1(T_1 \texttt{#}T_2 \texttt{#}\cdots \texttt{#} T_g)$ | $<a_1,\cdots,a_g,b_1,\cdots, b_g\vert \prod_{i=1}^g a_ib_ia_i^{-1} b_i^{-1}>$ | |
| 胞腔分解 | $\pi_1(M)=\pi_1(S_2)=\pi_1(S_1\cup_{k=1}^{n_2}D_2^k)$ | $<\gamma_1,\cdots,\gamma_k\vert\ [\partial D_2^1][\partial D_2^2],\cdots, [\partial D_2^{n_2}]>$ |
特例
torus $T_2$
- torus可以沿a,b cut, 变形成如右图disk, 即 $aba^{-1}b^{-1}\sim e$
- 经过$p$点的任意$\gamma$ 分解成不和$a,b$ 相交的$\gamma_i$ 的积, $\gamma\in <a,b>$
projective plane $\mathbb{R}P^2$
- 把$\mathbb{RP}^2$ 看成上半球面$\mathbb H^2$ , 沿红线切割, 下面变成一个disk(D), 上面变成Möbius band(M, crosscap)
- $\pi_1(M)=<\gamma>$ , $\pi_1(D)=\lbrace e\rbrace=\emptyset$ , $\pi_1(\partial M)=<\gamma^2>$
- 把Möbius strip变形成如右图, 任意和边界不相交的loop都$\sim\gamma$ , 边界上为 $\gamma^2$
曲面分解
- Seifert-Van Kampen Theorem: $\pi_1(U\cup V, p)$ 和$\pi_1(U,p)$ , $\pi_1(V,p)$ 的关系
- connect sum(联通和) : 两个曲面去掉disk粘在一起, $A \texttt{#} B=(A-D)\cup_{\partial D}(B-D)$
- 任意closed surface 可以写成以下3种形式联通和分解,
- S是sphere
- $S=T\texttt{#} \cdots \texttt{#}T$ (S是oriented)
- $\pi_1(S,p)=<a_1,\cdots,a_g,b_1,\cdots, b_g\vert \prod_{i=1}^g a_ib_ia_i^{-1} b_i^{-1}>$
- 用Seifert-Van Kampen Theorem 和归纳法证明
circle $\gamma\sim aba^{-1}b^{-1}$
- $\pi_1(S,p)=<a_1,\cdots,a_g,b_1,\cdots, b_g\vert \prod_{i=1}^g a_ib_ia_i^{-1} b_i^{-1}>$
- $S = \mathbb{RP}^2 \texttt{#} \cdots \texttt{#}\mathbb{RP}^2$ (S是non-oriented)
- 任意closed surface 可以写成以下3种形式联通和分解,
closed oriented 曲面分解(Canonical Representation)
- canonical basis定义: ${a_1,\dots,a_g,b_1,\dots,b_g}$, $a_i$ 只和$b_i$ 相交
- intersection number定义: $a_i\cdot b_i=1$
- 在曲面上intersection index=1, 定义为切向量的cross product和法向量点积 > 0
- 对应canonical representation: $\pi_1(S,p)=<a_1,\cdots,a_g,b_1,\cdots, b_g\vert \prod_{i=1}^g a_ib_ia_i^{-1} b_i^{-1}>$
- intersection number定义: $a_i\cdot b_i=1$
- basis计算方法:
- 火烧法: 三角剖分$M$ -> cut graph $\Gamma$ -> canonical basis
- 计算$M$ 的dual graph $\bar M$
- 计算$\bar M$ 的spanning tree $\bar T$
- 得到cut graph $\Gamma = \lbrace e\in M\vert \bar e \notin \bar T\rbrace$
- 计算cut graph $\Gamma$ 的spanning tree $T$
- 得到 $\Gamma-T$ 是edge $\lbrace e_1, e_2,\dots, e_{2g}\rbrace$
- $e_i\cup T$ 是loop $\gamma_i$, 得到basis $\lbrace \gamma_1, \gamma_2,\dots, \gamma_{2g}\rbrace$
- 火烧法: 三角剖分$M$ -> cut graph $\Gamma$ -> canonical basis
- 唯一性: canoical representation不唯一, 判断两个canoical representation是isomorphic的是NP-hard问题.
- 相当于要判断canoical basis中的曲线homotopy(同伦)
CW-cell decomposition(胞腔分解)
定义在n-dim 的manifold上
- 定义: n-dim 的manifold $M$ , 有$M$ 的k-skeleton $S_0\subset S_1\subset \cdots \subset S_n=M$
- 其中k-skeleton $S_k$ 是$S_{k-1}$ 粘上一些disk: $S_k=S_{k-1}\cup D_k^1\cup D_k^2\cdots \cup D_k^{n_k}$ ,. $\partial D_k^i\subset S_{k-1}$
- 0-skeleton $S_0$ 是一些离散点, $S_0=\lbrace D_0^1,\cdots, D_0^{n_0}\rbrace$
- CW-cell decomposition把fundamental group的定义扩展到n-dim manifold
- $\pi_1(S_n)=\pi_1(S_{n-1})=\cdots=\pi_1(S_2)=\pi_1(S_1\cup_{k=1}^{n_2}D_2^k)=<\gamma_1,\cdots,\gamma_k\vert\ [\partial D_2^1][\partial D_2^2],\cdots, [\partial D_2^{n_2}]>$
- 用Seifert-Van Kampen Theorem 和归纳法证明
- $\pi_1(D_k^{n_k})$ 是trival的, $\pi_1(\partial D_k^{n_k}=\mathbb S^{k-1})$ 在$k> 2$ 的时候也是trival的.
- 1-skeleton $S_1$ 是一些path, $\pi_1(S_1)=<\gamma_1,\cdots,\gamma_k>$ 提供了生成元
- 2-disk的边界 $\pi_1(\partial D_2^{n_j})$ 在$S_1$ 中的表示$[\partial D_2^j]$提供了等价关系
- 用Seifert-Van Kampen Theorem 和归纳法证明
- surface的情况, $S_2=S_1\cup D$ 只有一个2维胞腔(面), cutgraph $\Gamma$ 就是1-skeleton $S_1$
- $\pi_1(S_n)=\pi_1(S_{n-1})=\cdots=\pi_1(S_2)=\pi_1(S_1\cup_{k=1}^{n_2}D_2^k)=<\gamma_1,\cdots,\gamma_k\vert\ [\partial D_2^1][\partial D_2^2],\cdots, [\partial D_2^{n_2}]>$
