Hodge Star Operator
在有Riemann metric的mainfold的微分形式上有映射 $\ast: \Omega^k(M)\rightarrow \Omega^{n-k}(M)$
- 连接微分几何和复几何:
- 在微分几何中，它描述了manifold上的形式内积和体积
- 在复几何中，它帮助刻画复结构和调和理论，解释了复流形中的拓扑性质?
manifold定义
| 两种定义 | Type I 选 $T_pM$ 的orthonormal basis定义 |
Type II 用一般的basis定义 |
|---|---|---|
| $T_pM$ 上的basis 和inner product |
$\lbrace\frac{\partial}{\partial x_1},\frac{\partial}{\partial x_2},\cdots,\frac{\partial}{\partial x_n}\rbrace$ -> $\langle \partial_i, \partial_j\rangle_g=\mathbb 1_{ij}$ |
$\lbrace\frac{\partial}{\partial x_1},\frac{\partial}{\partial x_2},\cdots,\frac{\partial}{\partial x_n}\rbrace$ -> $\langle \partial_i, \partial_j\rangle_g=\mathbf g_{ij}$ |
| $T_p^\ast M$ 上induce一个dual inner product | dual 1-form basis为$\lbrace dx_1,dx_2,\cdots,dx_n\rbrace$ | dual 1-form basis $\lbrace dx^1,dx^2,\cdots,dx^n\rbrace$ -> $\langle dx^i, dx^j\rangle_g=g^{ij}$ |
| $\Omega^k$ 上的dual inner product | \(\langle dx_{i_1}\wedge \cdots \wedge dx_{i_k}, dx_{j_1}\wedge\cdots \wedge dx_{j_k}\rangle=\delta^{j_1 \cdots j_k}_{i_1\cdots i_k}\) |
$\langle \omega, \eta\rangle_g$ \(\langle dx_{i_1}\wedge \cdots \wedge dx_{i_k}, dx_{j_1}\wedge\cdots \wedge dx_{j_k}\rangle=\delta^{j_1 \cdots j_k}_{i_1\cdots i_k}\cdot g^{i_1j_1}\cdots g^{i_kj_k}\) |
| volume Element(体元) $\omega_g= dx^1\wedge dx^2\wedge \cdots \wedge dx^n$ |
volume Element(体积形式, 体元) $\omega_g=\sqrt{det(g_{ij})}\ dx^1\wedge dx^2\wedge \cdots \wedge dx^n$ |
|
| Hodge star operator $\ast: \Omega^k(M)\rightarrow \Omega^{n-k}(M)$ |
$(dx_{i_1}\wedge dx_{i_2}\wedge \cdots \wedge dx_{i_k})\overset{\ast} \mapsto (-1)^\sigma dx_{i_{k+1}}\wedge dx_{i_{k+2}}\wedge\cdots\wedge dx_{i_n}$ 其中, $\sigma=(i_1,i_2,\cdots, i_n)$ 是一个permutation |
待定系数法 对于一般$\omega\in\Omega^k$ 和$\tau\in\Omega^{n-k}$ 比较以下体元的系数 1. $\omega\wedge^\ast \xi=\langle\omega,\xi\rangle_g\omega_g$ 2. $\omega\wedge\tau$ 解出$^\ast \xi$ 的系数 指标记法 即, \((dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge \cdots \wedge dx^{i_k})\overset{\ast} \mapsto \sum_{(j_{k+1},\cdots,j_n)}\frac{\sqrt{det(g_{ij})}}{(n-k)!}\delta^{j_1 \cdots j_k}_{i_1\cdots i_k}\cdot g^{i_1j_1}\cdots g^{i_kj_k} \cdot dx^{j_{k+1}}\wedge dx^{j_{k+2}}\wedge\cdots\wedge dx^{j_n}\) |
| 例子 体元和单位元 |
$^\ast(1)=dx^1\wedge dx^2\wedge \cdots \wedge dx^n=\omega_g$ $^\ast(\omega_g)=1$ |
|
| 例子 Riemann metric $\mathbf g=e^{2\lambda(u,v)}(du^2+dv^2)$ (写成等温坐标一形式) 即, $\mathbf g_{ij}=\begin{bmatrix}e^{2\lambda} & 0 \\ 0 & e^{2\lambda}\end{bmatrix}$ |
normalize 自然标架场, 得到orthonormal标架场 $\frac{\partial}{\partial x_1}=e^{-\lambda}\frac{\partial}{\partial u}$ , $\frac{\partial}{\partial x_2}=e^{-\lambda}\frac{\partial}{\partial v}$ 对应$dx_1=e^\lambda du$ , $dx_2=e^\lambda dv$ Hodge star: $^\ast dx_1=dx_2$ , $^\ast dx_2=-dx_1$ , $^\ast (1)=dx_1\wedge dx_2$ 即得 $^\ast du=dv, ^\ast dv=-du$ , $^\ast (1)=e^{2\lambda}du\wedge dv$ hodge star为逆时针旋转90度 |
此时surface area element(面元) $\omega_g=e^{2\lambda(u,v)}du\wedge dv$ 比较 1. $\omega\wedge\tau=(\omega_1\tau_2-\omega_2\tau_1)du\wedge dv$ 2. $\omega\wedge ^\ast du=\langle \omega,du\rangle_g\omega_g$ $=\langle\omega_1 du+\omega_2 dv, du\rangle_g e^{2\lambda}du\wedge dv$ $=e^{-2\lambda}\omega_1 e^{2\lambda} du\wedge dv$ $=\omega_1 du\wedge dv$ 的系数 得到$^\ast du=0\cdot du+1\cdot dv=dv$ |
- Type2 待定系数 -> 指标记法:
- 把$\tau\in \Omega^{n-k}$ 表示成$\tau=\sum_{(j_{k+1},\cdots,j_n)} (n-k)!\cdot \tau_{(j_{k+1},\cdots,j_n)}\cdot dx^{j_{k+1}}\wedge dx^{j_{k+2}}\wedge\cdots\wedge dx^{j_n}$ , 计算系数 $\tau_{(j_{k+1},\cdots,j_n)}$
- $(j_{k+1},\cdots,j_n)$ 排列为递增
- 比较 $\omega\wedge\tau$ 和 $\omega\wedge^\ast \xi=\langle\omega,\xi\rangle_g \omega_g$ 的系. : 即非零参数 $\omega_{(j_{1},\cdots,j_k)}$ 的系数
- 左侧为: $(n-k)!\cdot \tau_{(j_{k+1},\cdots,j_n)}$
- 右侧为: \(\delta^{j_1 \cdots j_k}_{i_1\cdots i_k}\cdot g^{i_1j_1}\cdots g^{i_kj_k}\cdot \sqrt{det(g_{ij})}\)
- 把$\tau\in \Omega^{n-k}$ 表示成$\tau=\sum_{(j_{k+1},\cdots,j_n)} (n-k)!\cdot \tau_{(j_{k+1},\cdots,j_n)}\cdot dx^{j_{k+1}}\wedge dx^{j_{k+2}}\wedge\cdots\wedge dx^{j_n}$ , 计算系数 $\tau_{(j_{k+1},\cdots,j_n)}$
- $\ast$ (Hodge Star Operator)在$\Omega^k(M)$ 上定义了一个内积: $(\zeta,\eta)=\int_M \zeta\wedge^\ast\eta=\int_M \langle \zeta, \eta\rangle_g\omega_g$
离散定义
黑色为Delaunay triangulation $T$, 红色为Voronoi diagram $T^*$ , 红边是黑边的中垂线
在$T$ 的edge(1-chain) 上定义1-form
- Hodge star operator $^\ast\omega(\bar e)=\frac{vol(\bar e)}{vol (e)}\omega(e)=\frac{\vert \bar e\vert}{\vert e\vert}\omega(e)=\frac{1}{2}(\text{cot } \alpha +\text{cot } \beta)\omega(e)$
- $e$ (黑边)的dual edge $\bar e$ (红边), $\vert e\vert$ 和$\vert \bar e \vert$ 相当于在度量$\mathbf g$ 下的体积
- $\omega\in \Omega^1$ 是T上的. -form, 映射结果$^\ast \omega$ 是 $T^*$ 上的1-form
- 由 圆心角的两倍=圆周角, 得到边长的比例 $\text{cot } \alpha +\text{cot } \beta$ , 称为cot edge weight
举例 . 调和形式推导
场论 . 静电场 . 双点电荷系统
红色电力线, 为沿电场强度的轨迹; 蓝色等势线
- 0-form 电势场 $\phi$ : 左侧正电荷处边界电势为+1, 负电荷处电势为-1, 外边界电势为0
- 1-form 电场强度为电势的梯度: $E=-\nabla \phi=E_xdx+E_ydy$ (高电势流向低电势)
- 场强是harmonic的:
- closed: $curl\ E = \nabla \times E=(\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y})dxdy = 0$ ( 2-form 旋量, 电场强度的外微分)
- 物理意义:
- 描述矢量场漩涡🌀的大小和方向
- 旋量的面积分 = 沿封闭路径$\partial D$ 做功 = 0 (Stokes Theorem)
- 带电粒子沿路径$\gamma$ 做功为 $W=\int_\gamma F=q\int_\gamma E=q\int_\gamma \langle E,\dot r\rangle d\tau$
- 带电粒子受到电场力 $F=qE$
- 其中$\dot r$ 为沿$\gamma$ 的切向
- 带电粒子沿路径$\gamma$ 做功为 $W=\int_\gamma F=q\int_\gamma E=q\int_\gamma \langle E,\dot r\rangle d\tau$
- 物理意义:
- coclosed: $div\ E=\nabla\cdot E=\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}= 0$ (0-form 散度, 电场强度的余微分)
- $-div\ E = \delta(E)=(-1)^{kn+n+1}\ ^\ast d(^\ast E)$
- hodge star $^\ast E$ 为旋转90度, $^\ast E=E_y dx - E_x dy$
- 外微分得到 2-form $d(^\ast E)=(\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y})dxdy$
- hodge star 得到0-form $^\ast d(^\ast E)=\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}$
- 最后 $(-1)^\ast d(^\ast E)=-(\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y})=-div\ E$ (映射到0-form 即k=0,2-manifold, 即n=2 -> kn+n+1 是odd)
- 物理意义:
- 描述矢量场的发散 ✳︎ 和汇聚程度
- 通量 = 封闭路径$\partial D$ 的净流入量(流入量-流出量) = 0 ( Gauss’ flux theorem(高斯通量定理) )
- 电通量 $\Phi=\oint_{\partial D} \langle E, \mathbf n \rangle ds=\int_D \nabla\cdot E dA$
- 其中$\mathbf n$ 是沿路径 $\partial D$ 的法向
- 电通量 $\Phi=\oint_{\partial D} \langle E, \mathbf n \rangle ds=\int_D \nabla\cdot E dA$
- 散度 = 通量在无穷小面元的极限 = 0
- $-div\ E = \delta(E)=(-1)^{kn+n+1}\ ^\ast d(^\ast E)$
- closed: $curl\ E = \nabla \times E=(\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y})dxdy = 0$ ( 2-form 旋量, 电场强度的外微分)
一般等温坐标系的调和函数
Riemann metric $\mathbf g=e^{2\lambda(u,v)}(du^2+dv^2)$
- 函数(0-form) $f$ 的Lapalace算子 : $\Delta_g f=(d\delta+\delta d)f=\delta d f= -e^{-2\lambda}(\frac{\partial^2}{\partial u^2}+\frac{\partial^2}{\partial v^2}) f$
- differential operator: $df=\frac{\partial f}{\partial u}du + \frac{\partial f}{\partial v}dv=e^{-\lambda}(\frac{\partial f}{\partial u}dx + \frac{\partial f}{\partial v}dy)=\nabla_g f$
- codifferential operator: $\delta df = -div(\nabla f)$ : 等价于负的 Lapalace–Beltrami operator
- hodge star $^\ast df$ 为旋转90度, $^\ast df=\frac{\partial f}{dv} du - \frac{\partial f}{du} dv$
- 外微分得到 2-form $d(^\ast df)=(\frac{\partial^2}{\partial u^2}f+\frac{\partial^2}{\partial v^2}f)dudv$
- hodge star 得到0-form $^\ast d(^\ast df)=\omega_g(\frac{\partial^2}{\partial u^2}+\frac{\partial^2}{\partial v^2}) f=e^{-2\lambda}(\frac{\partial^2}{\partial u^2}+\frac{\partial^2}{\partial v^2}) f$
- 最后 $\delta df = (-1)^\ast d(^\ast df)=-\omega_g(\frac{\partial^2}{\partial u^2}+\frac{\partial^2}{\partial v^2}) f=-e^{-2\lambda}(\frac{\partial^2}{\partial u^2}+\frac{\partial^2}{\partial v^2}) f$ (映射到0-form 即k=0,2-manifold, 即n=2 -> kn+n+1 是odd)
- 调和函数 $f$ (满足$\Delta_g f=0$ ) 使曲面$S$ 的调和能量($E(f)=(\nabla_g f,\nabla_g f)=\int_M \langle\nabla_g f,\nabla_g f\rangle_g\omega_g$ ) 最小: $f=\text{argmin}_f E(f)$
- ( ) 是hodge star operator induced 内积
- 把调和能量看成变分问题,
离散 . 局部调和形式
- 1-form $\omega$ 是harmonic条件:
- closed: 沿每个三角形 $\Delta=\lbrace e_0,e_1,e_2\rbrace$ 一圈的值=0, 即 $\omega(e_0)+\omega(e_1)+\omega(e_2)=0$
- coclosed:
- 0-form $div=-^\ast d(^\ast \omega)$ 定义在顶点 $v$ 上
- 是定义在dual Voronoi cell $\bar f$ 上的2-form的hodge star: $div\ v=-^\ast d(^\ast \omega)(v)=d(^\ast\omega)(\bar f)$
- 是定义在Voronoi cell的边界$\bar e_0,\cdots,\bar e_k$ 上的1-form的外微分: $d(^\ast \omega)(\bar f)=^\ast \omega(\bar e_0)+\cdots+^\ast \omega(\bar e_k)$
- 是定义在沿顶点$v$ 为起点的边逆时针排列的边 $e_0,\cdots,e_k$ 上的hodge star: $d(^\ast \omega)(\bar f)=^\ast \omega(\bar e_0)+\cdots+^\ast \omega(\bar e_k)=w_{e_0}\omega(e_0)+\cdots+w_{e_k}\omega(e_k)$
- $e_0,\cdots,e_k$ 的cot edge weight为$w_{e_0},\cdots, w_{e_k}$
计算
曲面的调和一形式
由对应的上同调一形式得来
- 计算一阶cohomology class的basis: $\lbrace\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_{2g}\rbrace$
- 定义0-form $f_1,\cdots,f_{2g}$ , 使$\lbrace\omega_1+df_1,\cdots,\omega_{2g}+df_{2g}\rbrace$ 是harmonic的
- closed: $\omega_i$ 是closed -> $\omega_i+df_i$ 自然是closed
- $\omega_i+df_i\in \omega_i+\text{img}\ d^0$ 和 $\omega_i$ 属于同个cohomology class
- coclosed: 解每个顶点处的线性的coclosed方程
- closed: $\omega_i$ 是closed -> $\omega_i+df_i$ 自然是closed
harmonic map(调和映射)
- f 是调和映射 <-> f在每个分量上都是调和函数 <-> $df$ 在曲面内部是调和一形式
- disk harmonic map: 带边单连通曲面( topological disk) $M$ 到单位圆盘的映射 $f: M\rightarrow \mathbb D$ (0-form)
- 计算:
- 随便构造边界函数 $g: \partial M\rightarrow \mathbb S^1$ , 使 g是homeomorphic(同胚) 就行: 把$\mathbb S^1$ 等分映射到对应三角形边界就行
- 计算每个边的 cotangent edge weight
- 解 $df$ 的coclosed方程(f 的Laplacian方程 )
- spherical harmonic map: genus 0 的closed 曲面mesh $M$ , 到单位球的映射 $\phi: M\rightarrow \mathbb S^2$
- 计算: spherical的情况, 有1. Laplacian ($\Delta \phi(v_i)=\sum_{v_i\sim v_j} w_{ij}(\phi(v_j)-\phi(v_i))=0$) 和2. 球面($\phi(v_i)\in \mathbb S^2$) 两个约束, 用proximal(近端算子)的方法轮流迭代
- 计算每个边的 cotangent edge weight
- 构造初始映射为 Gauss映射$G:M\rightarrow \mathbb S^2$ , 把点映射到normal vector($p\mapsto \mathbf n(p)$ ).
- 迭代:
- 计算每个顶点的 Laplacian 值
- 减少Laplacian部分: 从$\phi(v_i)$ 减去$\Delta\phi(v_i)$ 在切平面的投影, 即 $\phi(v_i)$ -= $\lambda D\phi(v_i)$
- $\lambda$ 为step_size (保证迭代稳定, 不诱发自旋转? )
- 重新映射回 $\mathbb S^2$ : 计算重心, 以重心为原点normalize