在复分析里被研究很多
平面调和函数性质
平面区域 $\Omega\subset \mathbb R^2$
- 调和函数 $f$ 使调和能量最小: $f=\text{argmin}_f E(f)$
- (满足$\Delta_g f=0$ )
- $E(f)=(\nabla_g f,\nabla_g f)=\int_M \langle\nabla_g f,\nabla_g f\rangle_g\omega_g$
- (regularity, smoothness) 调和函数在开集是$C^\infty$ (无穷可导) 的
- (Mean Value property) 调和函数 $f$ 沿一个点周围一圈的平均值等于在这个点取值
- (Maximum principle) 调和函数 $f$ 的最大, 最小值只能是在边界上
- 反证法: 如果$\Omega$ 内部有个最值$p$ , 会违背mean value property
- (Uniqueness, 唯一性) 两个调和函数 $u_1,u_2$ 在边界上取值相等 -> 两个函数相等.
- $u_1-u_2$ 在$\partial \Omega$ 上全是0 -> $u_1-u_2$ 的最大值, 最小值都是0 -> $u_1-u_2\equiv 0$
一般Riemann曲面到平面凸区域的调和映射
$\phi:(S,\mathbf g)\rightarrow (\Omega,du^2+dv^2)$
- (Rado Theorem) 调和映射$\phi$ 在边界 $\partial S\rightarrow \partial \Omega$ 上是 homoemorphic(同胚) -> $\phi$ 在S 内部是diffeomorphic的