由基本群/同调群定义指标
| 映射的层数 | space | map | induced homology group 都是 $\mathbb Z\rightarrow \mathbb Z$ 的形式 |
|---|---|---|---|
| degree of mapping $deg(f)$ |
closed surface | 连续映射 $f:M\rightarrow N$ |
$f_\ast: H_2(M,\mathbb Z)\rightarrow H_2(N,\mathbb Z)$ 映射的像的覆盖层数 |
| index of fixed point $Ind(f,p)$ 代数指标 |
n-dim topological space | 连续自映射 $f: M\rightarrow M$ 从点p到像$f(x)$ 的射线和$\partial U$ 的交点 给出 $f:\partial U\rightarrow \partial U$ |
$f_\ast: H_{n-1}(\partial U,\mathbb Z)\rightarrow H_{n-1}(\partial U,\mathbb Z)$ 映射的像的覆盖层数 曲面的情况下, $H_1(\partial U,\mathbb Z)=\pi_1(\partial U)$ |
| zero index of tangent vector field $\text{Index}_p(v)$ |
在smooth surface上, p 是连续切向量场 $\mathbb v$ 的零点 (在p处是0向量) $B$ 是p 的邻域 |
单位切向量映射 $\phi: \partial B\rightarrow \mathbb S^1$ $q\mapsto \frac{\mathbf v(q)}{\vert \mathbf v(q)\vert}$ |
$\phi_\texttt{#}: \pi_1(\partial B)\rightarrow \pi_1(\mathbb S^1)$ 单位切向量沿$\partial B$ 旋转的圈数 |
- 全局指标
- Euler characteristic $\chi(S)=\vert V\vert+\vert F\vert -\vert E\vert$
- 只和曲面本身有关
- Lefschetz number $\Lambda(f)=\sum_k(-1)^k tr(f_{\ast k}\vert H_k(M,\mathbb Z))$ 自同构在所有 不同层-form 上trace的sum
- 不仅和曲面, 和自同构也有关.
- 自同构取identity的时候就是Euler Character. 是Euler Character的另一种定义方式. $\chi(M)=\sum_{k=0}^n (-1)^i rk(H_k(M,\mathbb Z))=\sum_{i=0}^n (-1)^kb_k$
- Euler characteristic $\chi(S)=\vert V\vert+\vert F\vert -\vert E\vert$
- 局部特征
- 自同构的 index of fixed point
- 切向量场的 zero index
closed surface映射的degree
$p_1,p_2,p_3$ 都映射到$q$. $p_3$ 是往右凸起
- Gauss-Bonnet: Gauss映射$G:S\rightarrow \mathbb S^2$ , 把点映射到normal vector($p\mapsto n(p)$ ).
- $deg(G)=1-g$. 即覆盖球面1-g次(每个点原像的个数).
- 计 Gauss映射的image的面积: $4\pi\cdot deg(G)=\int_S K dA=2\pi\cdot \chi(S)$ ?
拓扑空间的自映射和同调特征
有以下$\downarrow$ 随历史发展(研究深入🧐) 逐渐推广(变强💪) 的三个不动点定理
- Brouwer Fixed Point定理: $\Omega\subset \mathbb R^n$ 是compact, convex的. 有连续自映射$f:\Omega\rightarrow \Omega$. -> 这个映射存在不动点 p .
- 用反证法证明:
- 如果没有不动点, 从内部点 $x$ 经$f(x)$ 到边界的射线, 给出了$\Omega\rightarrow \partial \Omega$ 的连续映射
- 而 $H_{n-1}(\Omega,\mathbb Z)=0$, $H_{n-1}(\partial \Omega,\mathbb Z)= \mathbb Z$ 给出了映射的矛盾.
- convex是单连通, 比如平面上的convex集是disk, $\partial \Omega$ 是circle
- $\Omega$ 是compact, convex的 -> $H_0(\Omega,\mathbb Z)=\mathbb Z, H_k(\Omega,\mathbb Z)=0$ (所有圈中间都是实心的) -> $\Lambda(f)=tr(id\vert H_0)=1$ (一个离散集上的连续映射只能是identity了.)
- 直观理解: 搅拌一杯咖啡☕️, 肯定有分子不动; 地球上肯定有一个地方没有风
- 用反证法证明:
- Lefschetz Fixed Point定理: compact拓扑空间的连续自同构 $f: M\rightarrow M$ , 并且$f$ 的Lefschetz number $\ne$ 0 -> 这个映射存在不动点 p. 下面证明👇
- $\sum_k (-1)^k tr(f_k\vert C_k)=\sum_k (-1)^k tr(f_k\vert H_k)=\Lambda(f)$ (Lemma)
- 证明:
- 有以下分解关系:
- $C_k=C_k/Z_k \oplus Z_k$ (分解出closed部分)
- $Z_k=B_k \oplus H_k$ (homology定义, 分解出boundary部分)
- $\partial_k: C_k/Z_k\rightarrow B_{k-1}$ 是isomorphic的 (由closed和boundary的定义)
- 由交换图
, 得到相似变换, $\partial_k \circ f_k \circ \partial_k^{-1}=f_{k-1}$
- 由交换图
- $tr(f_k\vert C_k)=tr(f_k\vert C_k/Z_k)+tr(f_k\vert B_k)+tr(f_k\vert H_k)=tr(f_{k-1}\vert B_k)+tr(f_k\vert B_k)+tr(f_k\vert H_k)$
- 按照k把$(-1)^k$ 的两边相加得到等式
- 有以下分解关系:
- 把在$C_k$ 上的定义(依赖三角剖分, 更加几何), 和在$H_k$ 上的定义(不依赖三角剖分, 更加代数) 相联系
- 证明:
- $\Lambda(f)\ne 0$ -> 存在某个k, 使得$tr(f_k\vert C_k)\ne 0$ -> $f_k$ 在$C_k$ 上有特征向量$\sigma$ , 使$f_k(\sigma)\subset \sigma$ -> 存在不动点$p\in \sigma$ (由Brouwer Fixed Point定理)
- $\sum_k (-1)^k tr(f_k\vert C_k)=\sum_k (-1)^k tr(f_k\vert H_k)=\Lambda(f)$ (Lemma)
- Lefschetz-Hopf theorem : compact拓扑空间的连续自同构 $f: M\rightarrow M$ , 有 $\sum_{p\in Fix(f)} Ind(p, f)=\Lambda(f)$
- 不动点的代数指标和 = Lefschetz number
曲面的切向量场和曲面形态
tangent vector
我们在manifold上定义tangent vector (其实可以由多种观点定义)
- 在atlas每个局部坐标系下表示为$\lbrace\frac{\partial}{\partial x_i}\rbrace_i$ 的函数组合: $\xi(x^1,x^2,\cdots,x^n)=\sum_{i=1}^n \xi_i(x^1,x^2,\cdots,x^n)\frac{\partial}{\partial x_i}$
- $\lbrace\frac{\partial}{\partial x_i}\rbrace_i$ (自然标架场) 是在局部坐标系下只变化$x_i$ 的iso-parametric curves的速度场
- 在不同局部坐标系间有Jacobian 的转换关系(transition rule) : $\tilde \xi^i=\sum_{j=1}^n \frac{\partial \tilde x^i}{\partial x^j}\xi^j$
Poincaré-Hopf Theorem(发旋定理): 用Euler Characteristic分析切向量场零点
- Poincaré-Hopf Theorem(发旋定理): 光滑曲面上光滑tangent vector field, 所有zero index 的sum = euler characteristic ( $\sum_{p\in Z(\mathbf v)} \text{Index}_p(\mathbf v)=\chi(S)$ )
- 这里的zeros指isolated zero(分立零点): 即邻域里只有这一个零点
- 如果不是, 经过微小扰动之后变成isolated zero (灾变理论: 把临界态变为稳态)
- 证明1: 直接证明
- 任意两个vector field $\mathbf v_1,\mathbf v_2$ 对应相同的zero index sum: \(\sum_{p\in Z(\mathbf v_1)} \text{Index}_p(\mathbf v_1)=\sum_{q\in Z(\mathbf v_2)} \text{Index}_q(\mathbf v_2)\)
- 找一个足够细的三角剖分T, 把$\mathbf v_1,\mathbf v_2$ 的零点都分开在单独的面上
- 定义:
- 2-form $\Omega_1, \Omega_2$ : $\Omega_k(\Delta)=\text{Index}_p(v_k)$ ($\Omega_k$ 在三角形$\Delta$ 上的值为$\mathbf v_k$ 的zero index)
- 1-form $\omega$ : $\omega(\gamma)=\int_\gamma \dot \theta(\tau)d\tau$ (沿path(1-chain) $\gamma$ 的值为 $\mathbf v_1\rightarrow\mathbf v_2$ 沿$\gamma$ 角度变化的积分)
- $\Omega_2-\Omega_1=d\omega$ 是cohomological
- 由定义$d\omega(\Delta)=\omega(\partial \Delta)=\int_{\partial \Delta} \dot \theta(\tau) d\tau$ 角度差沿三角形边界的变化
- $\int_{\partial \Delta} \dot \theta(\tau) d\tau=\theta(x+\partial \Delta)-\theta(x)=2\pi\cdot (\text{Index}_p(\mathbf v_1)-\text{Index}_p(\mathbf v_2))$
- x 是边界 $\partial \Delta$ 上任一点
- 表示$\mathbf v_2$ 较$\mathbf v_1$ 在沿点$p$ 的边界$\partial \Delta$ 领先的 圈数(换算成角度)
- 由zero index定义得到两边的等价关系
- 在整个曲面$S$ 上积分, \(\sum_{p\in Z(\mathbf v_1)} \text{Index}_p(\mathbf v_1)=\int_S \Omega_1=\int_S \Omega_2=\sum_{q\in Z(\mathbf v_2)} \text{Index}_q(\mathbf v_2)\)
- $\Omega_1$ 和$\Omega_2$ 的差距 $\int_S d\omega=\int_{\partial S} \omega=0$
- 第一个等号根据Stokes Theorem , 第二个等号根据条件$\mathbf v_1, \mathbf v_2$ 在$S$ 边界方向相同(指向exterior normal方向)
- $\Omega_1$ 和$\Omega_2$ 的差距 $\int_S d\omega=\int_{\partial S} \omega=0$
- 存在一个vector field对应的对应的zero index sum = euler characteristic
- 在三角剖分T上, 构造如图切向量场 $\mathbf v$
- source和sink处的index是1, saddle处的index是-1
- 如图, source和sink周围的切向量逆时针转一圈, saddle周围的切向量沿顺时针转一圈
- 图中曲线是点沿切向量方向运动的轨迹
- \[\sum_{p\in Z(\mathbf v)} \text{Index}_p(\mathbf v)=\sum_{\text{source}}+\sum_{\text{sink}}-\sum_{\text{saddle}}=\vert V\vert+\vert F\vert -\vert E\vert=\chi(S)\]
- 在三角剖分T上, 构造如图切向量场 $\mathbf v$
- 任意两个vector field $\mathbf v_1,\mathbf v_2$ 对应相同的zero index sum: \(\sum_{p\in Z(\mathbf v_1)} \text{Index}_p(\mathbf v_1)=\sum_{q\in Z(\mathbf v_2)} \text{Index}_q(\mathbf v_2)\)
- 证明2: 用Fixed Point定理推导
- $\sum_{p\in Z(\mathbf v_1)} Index_p(\mathbf v_1)=\sum_{p\in Fix(\phi_t)} Ind(p, \phi_t)$
- 构造连续自同构family $\phi_t(p)$ : $\frac{\partial \phi_t(p)}{\partial t}=\mathbf v\cdot \phi_t(p)$ ?
- 把切向量场$\mathbf v$ 作为梯度场
- 每个 t 对应一个自同构 $p\mapsto p + t\cdot \mathbf v + o(t)$
- t = 0 时, $\phi(p,t)=id$
- 切向量场$\mathbf v$ 的零点($Z(\mathbf v_1)$) 对应 自同构$\phi_t$ 的不动点($Fix(\phi_t)$)的 位置 和 index
- 切向量旋转的圈数 -> 切向量的终点的圈数
- 构造连续自同构family $\phi_t(p)$ : $\frac{\partial \phi_t(p)}{\partial t}=\mathbf v\cdot \phi_t(p)$ ?
- $\sum_{p\in Fix(f)} Ind(p, \phi_t)=\Lambda(\phi_t)$ : 不动点的代数指标和 = Lefschetz number
- $\Lambda(\phi_t)=\Lambda(id)=\vert V\vert+\vert F\vert -\vert E\vert=\chi(S)$ (lemma)
- id 到 $\phi_t$ 的变化是homotopic(同伦)的-> 同调不变 -> Lefschetz number
- $\Lambda(id)=tr(id\vert C_0)-tr(id\vert C_1)+tr(id\vert C_2)=\vert V\vert-\vert E\vert+\vert F\vert$ (由Lemma1)
- $\sum_{p\in Z(\mathbf v_1)} Index_p(\mathbf v_1)=\sum_{p\in Fix(\phi_t)} Ind(p, \phi_t)$
- 这里的zeros指isolated zero(分立零点): 即邻域里只有这一个零点
- Poincaré-Hopf Theorem的几何意义: 如果Euler Character 不为零, 切向量丛必然存在零点
- 曲面上没有整体光滑的切矢量场
- movable frame只能局部定义
- 半球的Euler Character是1 -> 头发一定会有发旋, 梳头发的时候总有梳不顺的地方
- 发球定理
- 对于曲面上的unit tangent bundle
- 全局的section不存在(存在obstruction, 拓扑障碍)
- 曲面上没有整体光滑的切矢量场
曲面单位切向量丛的拓扑障碍(obstruction)
用现代观点来看,
- 证明1中的2-form即为unit tangent bundle的characteristic class(示性类)
- 由zero index的定义
- 0点即为UTM(unit tangent bundle)的拓扑障碍
- 全局光滑切矢量场即为UTM的global section
- global section: 3流型中的封闭曲面, 和每个fiber只有一个交点
- characteristic class(示性类)在曲面上积分等于 Euler characteristic : $\int_M [\Omega]=\chi(M)$
. 同调表示fiber bundle的示性类
只考虑UTM(unit tangent bundle) 这个fiber bundle
- 构造2-manifold(曲面) $M$ 上的三角剖分$T$ , 使fiber bundle $F(M)$ 在每个三角形$\Delta$ 上是trival的($F(\Delta)=\Delta\times F$ )
- $F(M)$ 的section $\phi: M\rightarrow F(M)$
- fiber是$\mathbb S^1$ , $F(\Delta)$ 是个solid torus, $\pi_1(F(\Delta))=\mathbb Z$
- 每个section可以定义一个2-form $\Omega$: $\Omega(\Delta)=[\phi(\partial \Delta)]$
- section $[\phi(\partial \Delta)]$ 是在$F(\Delta)$ 上的一个loop, 即$\pi_1(F(\Delta))=\mathbb Z$ 中的元素, 是一个整数
如图, 红绿蓝为顶点处的fiber, 黑色section $\phi(\partial \Delta)\sim e$ 对应tangent vector指向同一方向
如图, 黑色section在$F(\Delta)$ 不能缩成一个点, 中间存在tangent vector的零点(即拓扑障碍)
- 2-form $\Omega$ 的值为$\Delta$ 中一点$p$ 的zero index.
- 也可以说黑色section不是exact的, 为$H_1(\Delta)$ 的非零元素
- 不同的section对应同一个上同调类 $[\Omega]\in H^2(M,\mathbb R)$ : (lemma)
- 对于其他的section $\bar\phi$ , 和定义的2-form $\bar\Omega$, 有1-form h, 使得$\Omega-\bar \Omega=\delta h$
- 定义h:
如图所示 h 链接前后两个三角形$\partial \Omega$ 和$\partial \bar \Omega$- 在$\Delta$ 的边 a 上, 定义$h=[l_a]=[p_i\phi(a)p_j^{-1}\bar \phi(a)^{-1}]$
- 其中a 的顶点是 $\sigma_i^0$ 和$\sigma_j^0$
- 其中$p_i$ 是$\sigma_i^0$ 的fiber上$\bar\phi$ 的像到$\phi$ 的像的path, $p_j$ 是$\sigma_j^0$ 的fiber上$\phi$ 的像到$\bar\phi$ 的像的path
- $l_a$ 是$p_i\phi(a)p_j^{-1}\bar \phi(a)^{-1}$ 构成的loop, $[l_a]$ 也是$\pi_1(F(\partial\Delta))=\mathbb Z$ 中的元素
- 其他两边b, c也类似定义
- 示性类$[\Omega]$
- 示性类$[\Omega]$ 不依赖local section的选取, 反应曲面的整体性质
- 示性类$[\Omega]$ 不是0 -> $F(M)$ 没有global section
- 因为global section可以得到trival的示性类
代码
- blender画图: utm.py