covering space
$\cup S_i$ 是$U$ 的orbit
- covering space $\tilde S$ : 对于曲面$S$, 每个点$q$ 的邻域$U$, 都可以找到preimage $p^{-1}(U)=\cup U_i$, 每个$U_i$和$U$ 都是local homeomorphism
- lift(提升): $S$ 上起点为$q$ 的path $\gamma$, 选取$\tilde S$ 上$q$ 的orbit其中一点$\tilde q_0$ , 沿$\gamma$ 一路的邻域拉到$\tilde S$ 上得到lift $\tilde \gamma$
- $p\cdot\tilde \gamma =\gamma$
- 固定起始点后, $\tilde \gamma$ 是唯一的
- Deck Transformation(甲板映射): 在covering space上的自同构, 使得projection不变.
- Deck group: $\frac{\pi_1(S,q)}{p_*\pi_1(\tilde S,\tilde q)}\cong Deck(\tilde S)$
- 映射 $[\gamma]\mapsto(U_{\tilde q_i}\rightarrow U_{\tilde q_j})$
- $\tilde q_i,\tilde q_j$ 都在点$q$ 的orbit上, 是lift $\tilde \gamma$ 的starting pt. 和ending pt.
- $\tilde \gamma$ 是loop -> 在Deck group中是trival的
- 映射 $[\gamma]\mapsto(U_{\tilde q_i}\rightarrow U_{\tilde q_j})$
- Deck group: $\frac{\pi_1(S,q)}{p_*\pi_1(\tilde S,\tilde q)}\cong Deck(\tilde S)$
universal covering(万有覆叠)
covering space单连通, 即 $\pi_1(\tilde S)=\lbrace e\rbrace$ , $\pi_1(S,q)\cong Deck(\tilde S)$
$S$ : 
$\rightarrow$ $\tilde S$: 
上面点集对应$\pi_1(S,q)$
构造
universal covering space的存在性: 构造式证明
- $S$ 是path connected: 把$S$ 上路径展开得到$\tilde S$
- 构造从$q$ 点出发的path同伦类, $\tilde S = \Gamma/\sim$ , $\tilde S$ 是一个universal covering space
- 对$S$ 上的每个点$q_0$, $[\gamma_{q\rightarrow q_0}]\mapsto q_0$ 定义了 $\tilde S\rightarrow S$ 的projection
- 对任意点$q_0$, orbit $[\gamma_{q\rightarrow q_0}]$ 和$[\gamma_{q\rightarrow q}]$ 一一对应, 即$\pi_1(S,q)\cong Deck(\tilde S)$ (universal性质)
- path去除loop部分后是homotopy(同伦) trival的
- 对任意点$q_0$, orbit $[\gamma_{q\rightarrow q_0}]$ 和$[\gamma_{q\rightarrow q}]$ 一一对应, 即$\pi_1(S,q)\cong Deck(\tilde S)$ (universal性质)
- 对$S$ 上$q_0$ 的邻域$U_{q_0}$ , preimage $\tilde U$ 定义为同伦类集合 $\lbrace[\tau_{q\rightarrow q_1}]\ \vert\ q_1\in U_{q_0}, \tau_{q\rightarrow q_1}\cdot\alpha_{q_1\rightarrow q_0}\sim \gamma_{q\rightarrow q_0}\rbrace$
- $\tilde U$ 的每个联通分支对应一个$\gamma_{q\rightarrow q_0}$
- $\tilde U$ 定义了$\tilde S$ 上的拓扑
- 对$S$ 上的每个点$q_0$, $[\gamma_{q\rightarrow q_0}]\mapsto q_0$ 定义了 $\tilde S\rightarrow S$ 的projection
- 构造从$q$ 点出发的path同伦类, $\tilde S = \Gamma/\sim$ , $\tilde S$ 是一个universal covering space
- $S$ 是oriented closed surface
- 沿$S$ 的cutgraph $\Gamma$ 切开并粘合, 得到一个universal covering space
- 把边界上$s_i$ 和$s_i^{-1}$ 的部分粘在一起
- 中间的每一块称为fundamental domain
- 沿$S$ 的cutgraph $\Gamma$ 切开并粘合, 得到一个universal covering space
universal性质: 记$\tilde S_u$ 是unviersal covering, 对应projection $p_u$, 对于任何的covering space $\tilde S$, 存在映射$u: \tilde S_u \rightarrow \tilde S$ , 使$p\cdot u=p_u$ .
性质
- $\tilde \gamma$ 是closed <-> $\gamma \sim e$
- -> : $\tilde \gamma \sim e$ , 即存在同伦变换 $\tilde f(0,t)=\tilde \gamma$, $\tilde f(1,t)=\tilde q$ , 令$f=p\cdot \tilde f$ , 所以$\gamma\sim e$ (使 $p_*\pi_1(\tilde S, \tilde q)\subset \pi_1(S,q)$ well-defined)
- <-: 同伦变换$f$ 提升到连续映射 $\tilde f$
- 记 $\tilde f(1,0)=\tilde f(1,1)=\tilde p_0$ 是trival path的提升, 中间路径的endpoint $\tilde f(t,1)\in \cup_i\ \tilde p_i$ , orbit $\cup_i\ \tilde p_i$ 是离散点集
- 所以所有的endpoint $\tilde f(t,1)=\tilde p_0$ 都一样
- $\tilde \gamma$ 的endpoint也是一样, $\tilde \gamma(1)=\tilde f(0,1)=\tilde p_0$
- 判断homotopy(同伦): $\gamma_1\sim\gamma_2$ <-> $\gamma_1\gamma_2^{-1}\sim e$ <-> $\gamma_1\gamma_2^{-1}$ 的lift $\tilde \gamma$ 是closed
- 即只要记录 $\gamma_1\gamma_2^{-1}$ 和canonical basis的相交情况, 得到最后ending point落在哪个fundamental domain就可以判断
- 这依然是NP-hard问题?
分类
3种基本曲面
- 球面: 直线是大圆, 过直线外一点有0条直线平行
- 平面: 过直线外一点有1条直线平行
- 双曲面: 由Poincaré Disk Model表示, 直线是和无穷远(边界)正交的圆弧, 过直线外一点有$\infty$ 条直线平行
- oriented closed surface的universal cover分类(单值化定理): (几何拓扑, 由几何(genus)确定黎曼度量)
- genus 0: universal cover上有球面测度
- genus 1: universal cover上有欧式测度
- genus > 1: universal cover上有双曲测度
- locally是conformal mapping?
