aperture衍射模型 (一)

光的传播理论

drawing

Huygens–Fresnel principle理论：
- 假设光源在$(x^\prime,y^\prime,0)$ , 方向是$z$ 方向，能量是$E$
- 传播到$(x,y,z)$ 的electric field是$E(x,y,z)=\frac{1}{i\lambda}\cdot E \cdot\frac{e^{ikr}}{r}\cdot \frac{z}{r}$
  - $r$ 是$(x,y,z)$ 到光源的距离
  - $\lambda$ 是波长
  - $k$ 是wavenumber: $\frac{2\pi}{\lambda}$

diffraction

drawing

考虑由光圈所在平面到sensor这一段, 假设$z$ 固定为aperture和sensor的距离，光源为从aperture向sensor方向的平行光

从aperture $A$ 透过的能量是 $E(x,y,z)= \int\int_A \frac{z}{i\lambda r^2} E(x^\prime,y^\prime,0)\cdot e^{ikr}\cdot dx^\prime dy^\prime$ ，形成的pattern主要受$e^{ikr}$ 这个高频项的影响,主要能观测到的pattern可以用下面两类衍射模型近似

Fresnel diffraction(菲涅耳衍射)

假设 : $r\approx z+\frac{(x-x^\prime)^2+(y-y^\prime)^2}{2z}$
- $r=\sqrt{z^2+\rho^2}=z\sqrt{1+\frac{\rho^2}{z^2}}$ , 其中$\rho^2=(x-x^\prime)^2+(y-y^\prime)^2$
  - 展开为 $r=z(1+\frac{\rho^2}{2z^2}-\frac{1}{8}(\frac{\rho^2}{z^2})^2+\cdots)\approx z+\frac{\rho^2}{2z}$
  - 近似条件为$z\frac{1}{8}(\frac{\rho^2}{z^2})^2=o(2\pi/k)$ , 即$\frac{\rho^4}{z^3\lambda}=o(1)$, 因为我们主要关注的是$e^{ikr}$ 这个高频项的周期
化简成Fourier变换的格式：
- $\begin{align}E(x,y,z)&=\frac{e^{ikz}}{i\lambda z} \int\int_A E(x^\prime,y^\prime,0)\cdot e^{\frac{ik}{2z}((x-x^\prime)^2+(y-y^\prime)^2)} dx^\prime dy^\prime \\ &=\frac{e^{ikz}}{i\lambda z} \int\int_A E(x^\prime,y^\prime,0)\cdot e^{\frac{i\pi}{\lambda z}(x^2+y^2+{x^\prime}^2+{y^\prime}^2-2xx^\prime-2yy^\prime)} dx^\prime dy^\prime\ (k\text{还原成 }\frac{2\pi}{\lambda}) \\ & =\frac{e^{ikz}}{i\lambda z}e^{\frac{i\pi}{\lambda z}(x^2+y^2)} \int\int_A E(x^\prime,y^\prime,0)e^{\frac{i\pi}{\lambda z}({x^\prime}^2+{y^\prime}^2)}\cdot e^{\frac{i\pi}{\lambda z}(-2xx^\prime-2yy^\prime)} dx^\prime dy^\prime \\ &=\frac{e^{ikz}}{i\lambda z}e^{\frac{i\pi}{\lambda z}(x^2+y^2)} \int\int \mathbb 1_A(x^\prime,y^\prime)\cdot E(x^\prime,y^\prime,0)e^{\frac{i\pi}{\lambda z}({x^\prime}^2+{y^\prime}^2)}\cdot e^{\frac{i\pi}{\lambda}(px^\prime+py^\prime)} dx^\prime dy^\prime\ (\text{ 带入 }p=\frac{x}{\lambda z}, q=\frac{y}{\lambda z})\end{align}$
- 记 impulse response: $h(x,y,z)= \frac{e^{ikz}}{i\lambda z}\cdot e^{\frac{ik}{2z}(x^2+y^2)}$
- 记aperture function: $g(x^\prime,y^\prime)=\mathbb 1_A(x^\prime,y^\prime)\cdot E(x^\prime,y^\prime,0)e^{\frac{i\pi}{\lambda z}({x^\prime}^2+{y^\prime}^2)}$
- Fourier transform : $G(p,q)=F(g(x^\prime,y^\prime))$
- 得到$E(x,y,z)=h(x,y,z)\cdot G(p,q)$ 的形式

Fraunhofer diffraction(夫琅禾费衍射)

假设1：$r\approx r_1-b\cdot\cos(\phi-\Phi)\cdot\sin\theta$ (有如图几何直观，对于圆形aperture有个简便的表达方法)
- 近似条件：图中红线 $\approx$ 图中绿线部分
  - $r_1$ 是aperture中心到观测点$(x,y)$ 的距离
  - 光源点$(x^\prime,y^\prime)$ 到中心距离为$b$ ,角度为$\phi$, 观测点$(x,y)$ 的角度为$\Phi$, $b$ 往$(x,y)$ 所在角度投影为$b\cos(\phi-\Phi)$ , 图中蓝色三角形的短边
  - 对图中蓝色三角形$(b\cos(\phi-\Phi),\pi/2-\theta,r_1)$ 用余弦公式得到图上蓝色$r_2$ 的距离：$r_2=\sqrt{r_1^2+b^2\cos^2(\phi-\Phi)-2br_1(\cos(\pi/2-\theta)\cos(\phi-\Phi))}$
  - 则 $r=\sqrt{r_2^2+b^2\sin^2(\phi-\Phi)}=\sqrt{r_1^2+b^2-2br_1\sin(\theta)\cos(\phi-\Phi)}$
  - 展开为：$r=r_1(1-\frac{b}{r_1}\sin(\theta)\cos(\phi-\Phi)+\frac{b^2}{2r_1^2}\cos^2(\theta)\cos^2(\phi-\Phi)+\cdots)$
  - 在$\frac{b^2}{2r_1}\cos^2(\theta)=o(2\pi/k)$ 条件下，即$\frac{b^2}{\lambda r_1}\cos^2\theta=o(1)$ 的情况下，得到我们的假设
假设2: $r\approx z+\frac{x^2+y^2-2xx^\prime-2yy^\prime}{2z}$ (和Fresnel的形式更统一，也方便写成Fourier变换的形式)
- 近似条件：
  - 和Frensel一样假设$\frac{\rho^4}{z^3\lambda}=o(1)$ ，另外，假设$\frac{b^2}{z\lambda}=o(1)$
- 和假设1的关系：其实把假设1形式变换一下就能得到相似的形式
  - $r\approx r_1-b\cdot(\cos\phi\cos\Phi+\sin\phi\sin\Phi)\cdot\sin\theta$
  - 带入： $\cos\phi=\frac{x^\prime}{b},\sin\phi=\frac{y^\prime}{b},\cos\Phi=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\sin\Phi=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}},\sin\theta=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{r_1}$
  - 得到$r\approx r_1-\frac{xx^\prime+yy^\prime}{r_1}=\sqrt{z^2+x^2+y^2}-\frac{xx^\prime+yy^\prime}{r_1}\approx z+\frac{x^2+y^2}{2z}-\frac{xx^\prime+yy^\prime}{z}$ (不过这样需要进一步的假设。。)
化简成Fourier变换的格式：
- 根据假设2，其他部分都和Fresnel相同, 只有$g(x^\prime,y^\prime)=\mathbb 1_A(x^\prime,y^\prime)\cdot E(x^\prime,y^\prime,0)$ 更简单了

[!example]

圆形aperture, 并假设光源在aperture均匀分布，即$E(x^\prime,y^\prime,0)=const$ :

把$(x^\prime,y^\prime)$ 转为$(b,\phi)$ 极坐标，$\int\int_A …dx^\prime dy^\prime=\int_0^a\int_0^{2\pi}… bdbd\phi$

根据假设1，参考Bessel公式

$\begin{align}E(x,y,z)&=\frac{e^{ikr_1}}{i\lambda r_1} \int_{b=0}^a\int_{\phi=0}^{2\pi} e^{-ikb\cdot\cos(\phi-\Phi)\cdot\sin\theta}b db d\phi\text{ (根据假设1)}\\ & =\frac{e^{ikr_1}}{i\lambda r_1} \int_{b=0}^a\int_{\phi=0}^{2\pi} e^{-ikb\cdot\cos\phi\cdot\sin\theta}b db d\phi\text{ (关于}\Phi\text{对称,可以假设=0)}\\ & =\frac{e^{ikr_1}2\pi}{i\lambda r_1} \int_{b=0}^a J_0(kb\sin\theta)b db \text{ (根据Bessel公式) }\\ & =e^{ikr_1}\frac{k}{i r_1} \frac{J_1(ka\sin\theta)}{ka\sin\theta}\end{align}$

另外，根据假设2，也能得到circ函数的Fourier变换是$J_1$

方形aperture, 并假设光源在aperture均匀分布：

x,y可以拆开成两个rectangular pulse, 其Fourier变换是sinc函数

两种diffraction的区别　

	Frensel	Fraunhofer	diffraction不明显
apeture function/pupil function	$g(x^\prime,y^\prime)=\mathbb 1_A(x^\prime,y^\prime)\cdot E(x^\prime,y^\prime,0)e^{\frac{i\pi}{\lambda z}({x^\prime}^2+{y^\prime}^2)}$ 和aperture到observer的距离$z$ 有关；改变距离，或把aperture平移，都会使pattern看起来剧烈变化	$g(x^\prime,y^\prime)=\mathbb 1_A(x^\prime,y^\prime)\cdot E(x^\prime,y^\prime,0)$ 和距离$z$ 无关; 结果只和观察角度$p=\frac{x}{\lambda z}, q=\frac{y}{\lambda z}$ 有关; 只改变$z$的情况，形成的pattern看起来形状相似
形成条件假设	$\frac{\rho^4}{z^3\lambda}=o(1),\frac{\rho^2}{z\lambda}=O(1)$ 当距离$z$ 再增加的时候，相对aperture更大，会趋近Fraunhofer的假设2 带入$N_f$, 有时写成$N_f (a/z)^2\ll 1, N_f\sim 1$	假设1: $\frac{b^2}{\lambda r_1}\cos^2\theta=o(1)$ 假设2: $\frac{\rho^4}{z^3\lambda}=o(1)$ ，$\frac{b^2}{z\lambda}=o(1)$
Fresnel number: $N_F=\frac{a(\text{aperture radius})^2}{z \lambda}$ $N_F$ 是实际场景中, diffraction种类的一个粗略的判断方法	$N_F\sim 1$ 一般叫”near field” diffraction	$N_F\ll 1$ 一般叫 far field diffraction	$N_f\gg 1$
pattern	泊松光斑实验不过实验里用的不是aperture而是中心的遮挡	Airy disk

其他讨论这个的链接：

公式推导

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Fraunhofer_diffraction_equation#CITEREFHecht2002

[2] https://phys.libretexts.org/Bookshelves/Optics/BSc_Optics_(Konijnenberg_Adam_and_Urbach)/06%3A_Scalar_diffraction_optics/6.07%3A_Fresnel_and_Fraunhofer_Approximations

[3] http://www.erbion.com/index_files/Modern_Optics/Ch11.pdf

[4] https://zhuanlan.zhihu.com/p/339379109

aperture衍射模型 (一)

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