3维流型, 在局部和$\mathbb R^3$ homeomorphic(同胚)
3-manifold和knot的本质关联
- 所有的3-manifold都可以由$S^3$(3 sphere) 通过Dehn Surgery得到(Lickorish-Wallace, 1960)
- Dehn Surgery : 从3-manifold $M$ drill 一个link的tubular neighborhood(管状邻域), 用solid torus fill 每个knot的部分.
- link $L$由一系列knots组成, $L=\cup_i K_i$
- Dehn Surgery : 从3-manifold $M$ drill 一个link的tubular neighborhood(管状邻域), 用solid torus fill 每个knot的部分.
- 不同的link可能得到相同的3-manifold, 研究这个的是Kirby Calculus学科 .
hyperbolic 3-manifold(双曲三流型)
具有恒定负曲率
Poincare half-space model($\mathbb H^3$)
- 定义: $\mathbb H^3=\lbrace(x,y,t)\vert\ t>0\rbrace$, 有双曲度量 $ds^2=\frac{dx^2+dy^2+dt^2}{t^2}$
- boundary $\partial \mathbb H^3=\mathbb C\cup\infty$ 又叫sphere at infinity
- 测地平面 $\mathbb H^2$ 是正交于xy-plane的vertical planes , 或上半球面
- 测地线是正交于xy-plane 的直线或半圆
- $\text{Isom}^+(\mathbb H^3)=PSL_2(\mathbb C)$ 在$\mathbb C\cup \infty$ 上是Möbius transforms
- horizontal planes $t=$ 是scaled Euclidean planes, 叫horospheres
性质(拓扑确定几何)
- 双曲三流型的基本群$\pi_1(M)$ -> 在covering space上是等距同构 -> 有到 $PSL_2(\mathbb C)$ 的离散, faithful 表示
- 基本群的不同元素对应 $PSL_2(\mathbb C)$ 的不同元素(faithful)
- 双曲三流型$M$, 给定一个 $\epsilon>0$, 可以把$M$ 分解为厚部分和薄部分 $M=M_{thick}\cup M_{thin}$ (Margulis thick-thin theorem, 1978)
- $M_{thin}$ 是注入半径<$\epsilon$ 的部分, 是tube和cusp
- cusp是$T^2\times [0,\infty)$ with $ds^2=\frac{dx^2+dy^2+dz^2}{z^2}$ (scaled Euclidean metric, $z\in [z_0,\infty)$ 是scale部分, x,y是$T^2$ 部分坐标)
- $M_{thick}$ 是注入半径>$\epsilon$ 的部分
- 表示度量(注入半径)确定了几何(是否是cusp)
- $M_{thin}$ 是注入半径<$\epsilon$ 的部分, 是tube和cusp
- 双曲三流型上的双曲度量是唯一的.(Mostow-Prasad Rigidity theorem, 1968)
- 表示几何不变量->拓扑不变量. 即可以通过研究拓扑研究几何.
| 3-manifold | surface |
|---|---|
| hyperbolic structure唯一(刚性定理) 即拓扑(度量)决定几何 可以用几何分析方法: PDE-> 黎曼度量 -> 拓扑 |
high genus surface上有双曲度量 不唯一, 取决于canonical basis的选取 不同的度量构成Teichmüller_space |
应用
存在双曲三流型结构的场景: 这些场景😮💨全都不太理解
- 如果三流型 $M$ 是 compact, irreducible, atoroidal(无环面), Haken manifold(有不可缩面embed) with torus boundary, $M$ 的内部是双曲的.(Geometrization of Haken manifolds, 几何化猜想的一部分)
- 一些link of knot的补空间有双曲结构
- 可以用circle packing 描述?
- $S^2$ 球面的三角剖分和对偶的剖分对应circle packing(Koebe-Andreev-Thurston circle packing theorem)?
- fibered 3-manifolds(surface bundles)
- 通过曲面$S$ 上的pseudo-Anosov monodromy(单值变换) 构造的fiber bundle上, 有双曲结构
- 表示可以用双曲三流型理论研究曲面上的动态
- $PSL_2(\mathbb C)$ 的算术lattice $\Gamma$ 的quotient上有双曲三流型结构
- 比如$PSL_2(\mathcal O)$ 的finite index subgroup, 其中$\mathcal O$ 是某个数域的整数环
- 首先, 我都没明白这为什么是三流型…
离散化
- 离散化成双曲多边形
- 基本元素是ideal tetrahedra(理想四面体): $\mathbb H^3$ 上所有顶点在sphere at infinity($\partial \mathbb H^3=\mathbb C\cup\infty$ ) 的测地四面体
- 每个边有一个edge parameter $z\in \mathbb C$ , 由周围顶点的cross ratio定义.
- 体积计算: $Vol(\Delta(z))=Im(Li_2(z))+\log\vert z\vert \cdot arg(1-z)$
- $Li_2$ 是dilogarithm function
- regular ideal tetrahedron(所有两面夹角$\pi/3$) 是体积最大的
- cusped(non-compact)双曲三流型$M$ 上的理想三角剖分:
- 由ideal tetrahedra(理想四面体)在faces处粘起来, 把顶点删除
- edge粘合处需要乘$\pm 1$ 保证依然是双曲结构(曲率条件)
- 对edge parameter也需要添加condition保证completeness(完备条件)
- 以上两个条件(curvature and completeness equations) 的solution set是离散的, (parameters决定了$M$ 上双曲结构?)
- 由ideal tetrahedra(理想四面体)在faces处粘起来, 把顶点删除
另外
3-manifold的很多内容我还没理解, 只是分类记录下来