conformal geometry学习 (六 ) – cohomology group

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上同调是同调的对偶

同调 homology


定义在离散的simplical complex		 上同调 (Simplicial) cohomology

最初是为了表示fiber bundle的class		 对偶记号 de Rham cohomology


定义在differential manifold M 上		 积分记号
k-chain $\sigma$

$C_k$		 k-cochain(k-form) $\omega$

$C^k$		 bilinear operator
$<\omega,\sigma>:=\omega(\sigma)$		 differential form(微分形式)
exterior k-form((k, 0) tensor)
$\underbrace{T_p M\times \cdots \times T_p M}_{k \text{ copies}} \rightarrow \mathbb R$
locally表示成k个Differential 1-form的wedge product
$\omega=\omega_I dx^I$
$\omega_I$ 是个function

$\Omega^k(M)$		 $\int_M \omega=\sum_i\int_M f_i\omega$

其中$f_i$ 是在一个covering charts上的partition:
$\sum_i f_i(p)\equiv 1,\forall p\in M$
$f_i(p)\ge 0,\forall p\in M$

其中每个chart的积分pull back到$\mathbb R^n$ 上定义
(k+1)-boundary
$\partial_{k+1}:C_{k+1}\rightarrow C_{k}$		 k-coboundary(微分算子)
$\delta_k: C^k\rightarrow C^{k+1}$
$\delta_k(\omega)=\omega\circ \partial_{k+1},\omega\in C^k$		 $<\delta\omega,\sigma>=<\omega,\partial\sigma>$

Stokes Theorem		 exterior differential
operator(exterior derivative , 外微分算子,)
$d^k:\Omega^k(M)\rightarrow \Omega^{k+1}(M)$
$d\omega=d(\omega_Idx^I)=(d\omega_I)\wedge dx^I$
满足反对称的乘法定律		 $\int_{\partial M}\omega=\int_M d\omega$
Stokes Theorem

拓扑意义算子(左侧boundary $\partial$ )和分析意义算子(右侧微分形式 $d$ ) 的对偶关系
adjoint boundary
operator
$\partial_{k+1}^\ast:C_{k}\rightarrow C_{k+1}$
hodge star:
$\frac{\omega(e)}{\vert e\vert}=\frac{^\ast\omega(\bar e)}{\vert \bar e\vert}$
其中, $e,\bar e$ 是dual edge

<–
$(d\omega,\eta)=(\omega,\delta\eta)$
由$d$ 和 $\wedge$ 的乘法定律得到		 codifferential operator(余微分算子)
$\delta^{k}:\Omega^{k+1}(M)\rightarrow \Omega^{k}(M)$
$\delta=(-1)^{kn+n+1}\ ^\ast d^\ast$
divergence(散度)

  
Laplace Operator
$\Delta_k=\partial_k^\ast\partial_k+\partial_{k+1}\partial_{k+1}^\ast$		   symmetric
$<\Delta \omega,\sigma>=<\omega,\Delta \sigma>$
non-negative(椭圆形 )
$<\Delta \omega,\omega>\ge 0$		 $\Delta=d\delta+\delta d$  
Hodge Decomposition        
  closed form $\delta_k\omega=0$
在每个三角面片上,
绕一圈结果为0		   closed form $d^k\omega=0$
curl free(旋量为0)
  
  在dual mesh的每个cell上,
绕一圈结果为0		   coclosed form $\delta^k\omega = 0$
div free(散度为0)		  
  exact form $\omega=\delta_{k-1}\sigma$   exact form $\omega=d^{k-1}\sigma$
gradient(梯度, Exterior Derivative)		  
      coexact form $\omega =\delta^{k+1}\sigma$
 
  harmonic form
离散调和		   harmonic form $\Delta \omega=0$  
      $\Omega^k=\text{img} d^{k-1}\oplus \text{img} \delta^{k+1}\oplus \mathcal H^k_\Delta$

Hodge theory

$H^k_{dR}\cong\mathcal H^k_\Delta$
上同调类和调和形式一一对应		  
同调        
$H_k$
closed, but not exact

$H_k=\text{ker}\Delta_k$
$H^k=\frac{\text{ker}\delta^k}{\text{img}\delta^{k-1}}$
  $H^k_{dR}=\frac{\text{ker} d^k}{\text{img}d^{k-1}}$
curl free, but not gradient

$H^k_{dR}\cong H^k(M,\mathbb R)$		  
$f_\ast: H_n(M)\rightarrow H_n(N)$ $f^\ast: H^n(N)\rightarrow H^n(M)$
是$f_\ast$ 的pull back		      

一阶 cohomology basis 计算

Pasted image 20240731000546.png

  • $H^1$ 是在边(1-simplex)上的函数, 使得沿每个三角形(2-chain)路径和为0 ( $\omega\in\text{ker}\delta^1$ )
  • $H^1\cong H_1$ 可以找到一组dual basis.
  • closed, genus g的曲面($\Sigma$) 上一阶 cohomology basis 计算 $H^1(\Sigma,\mathbb Z)$ (或$H^1(\Sigma,\mathbb R)$) : 用homology basis的dual basis组成
    • 计算homology basis $H_1(\Sigma,\mathbb Z)=span<\gamma_1,\dots,\gamma_{2g}>$
      • 想办法让除同一组(tunnel, handle)之外的basis都不相交
    • 每个1-cycle $\gamma_i$ 定义一个1-form $\omega_i$
      • 把$\Sigma$ 沿$\gamma_i$ 切开, 得到 $M_i$ , 边界$\partial M_i=\gamma_i^+-\gamma_i^-$
      • 在$M_i$ 上定义 0-form $\tau_i$ , 在$\gamma_i^+$ 的顶点上取1, 在$\gamma_i^-$ 的顶点上取0, 得到1-form $\omega_i=d\tau_i$ (在边上取值是起点值-终点值)
        • 其他地方的$\tau_i$ 可以随便取值
        • $\omega_i$ 在$\gamma_i^+, \gamma_i^-$ 上的边都取0, 所以是well-defined
        • $w_i$ 在同组$\gamma_j$ 上取1: 展开成$M_i$ 后, $\gamma_j$ 变为$\gamma_i^+$ 到$\gamma_i^-$ 的path, $d\tau_i=1$
          • $w_i$ 是同组$\gamma_j$ 的对偶
        • $w_i$ 在其他$\gamma_j$ 上取0: 展开成$M_i$ 后, $\gamma_j$ 依然是loop, $d\tau_i=0$
        • $\omega_i=d\tau_i$, 所以$d\omega_i$ 处处为0
    • 所有$\omega_i$ 组成$H^1(\Sigma, \mathbb Z)$ 的basis

带边界的例子

  1. Pasted image 20240907093602.png 中间红色为$\gamma^+$, 蓝色为$\gamma^-$
    • annulus $M$
    • $H_1(M,\mathbb Z)$ 有一个generator $\gamma$ , 如图中间loop
    • 定义$\omega$ 如图:
      • 在$\gamma$ 上取1, $\gamma^{-1}$ 上取-1
      • 其余edge上按此定义, 使$d\omega=0$ (沿每个面(2-chain)路径和为0 ( $\omega\in\text{ker}\delta^1$ )) -> $\omega$ 是closed
      • $\int_\gamma \omega = 18$ -> $\omega$ 不是exact ($\omega$ 没法表示成0-form 的image, 一圈之后会不compatible )
    • $\omega$ 是$H^1(M,\mathbb R)$ 的generator
  2. Uniform_curl.svg 如图, $\mathbb C\backslash \lbrace 0\rbrace$ 上的向量场 $\mathbf v(x,y)=(\frac{-y}{x^2+y^2},\frac{x}{x^2+y^2})$
    • $\mathbf v$ 是differential 1-form
      • 对应每个单位切向量(方向)一个赋值
    • $\mathbf v$ 是curl free($\mathbf v$ 是closed)
      • $\mathbf v=\mathbf v_x dx+\mathbf v_y dy$ -> $d\mathbf v = (\frac{\partial}{\partial x}v_y-\frac{\partial}{\partial y}v_x) dxdy=0$ (由外微分定义)
      • $\int_{\partial D} \mathbf v=\int_D d\mathbf v=0$ 在中间有定义的小邻域$D$ 内
    • $\oint \mathbf v=\oint -ydx+xdy=\oint dtan^{-1}\frac{y}{x}=\oint d\theta=2\pi$ 不是exact
      • 沿unit circle积分
      • $(arctan (x))^\prime=\frac{1}{1+x^2}$
      • $\mathbf v$ 不是gradient($\mathbf v$ 不是exact)
        • 如果$\mathbf v=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y})$ 是某个函数$f(x,y)$ 的梯度向量, $\oint \mathbf v=\oint \frac{\partial f}{\partial x} dx+\frac{\partial f}{\partial y} dy=\oint df=0$

differential form定义

逐步定义 tangent space -> differential 1-form -> m-form. 直观上, 一维的情况下, 由vector field在curve上的积分, 代替simplicial cohomology里面1-chain(loop)的对偶关系.

  • tangent space $T_pM$
    • basis 为 $\lbrace\frac{\partial}{\partial x_i}\rbrace_i$
    • tangent vector可以做push-forward
  • Differential 1-form(co-tangent space) $T_p^\ast M$
    • 这里我们指real dual: $\omega\in T_p^\ast M$, 即 $\omega: T_pM\rightarrow \mathbb R$ 是个线性映射
    • basis 为 $\lbrace dx_i \rbrace_i$ , 是 $\lbrace\frac{\partial}{\partial x_i}\rbrace_i$ 的对偶
  • exterior m-form(differential m-form) $\Theta_p: T_p M\times\cdots\times T_p M\rightarrow \mathbb R$
    • 是(m, 0) tensor
      • type (m, n) 的tensor \(T: \underbrace{V \times\dots\times V}_{m \text{ copies}} \times \underbrace{ V^\ast \times\dots\times V^\ast}_{n \text{ copies}} \rightarrow \mathbb{R}\) 是multi-linear map
    • 有skew symmetric(反对称)性质: $\omega(\xi_{\sigma_1},\xi_{\sigma_2},\cdots,\xi_{\sigma_m})=(-1)^\sigma \omega(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_m)$
      • 其中 $\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_m \in T_pM$ 是m个切向量, $\sigma\in S_m$ 是$\lbrace 1,2,\cdots, m\rbrace$ 的一个permutation(排列)
    • 可以locally表示成differential 1-form的wedge product: $\omega=\omega_I dx^I=\sum_{1\le i_1<i_2<\cdots<i_m\le n}\omega_{i_1i_2\cdots i_k} dx^1\wedge dx^2\wedge\cdots\wedge dx^m$ (multi-index notation )
      • $\lbrace dx^i \rbrace_i$ 是Differential 1-form $T_p^\ast M$ 的basis, n是manifold M的dimension
      • $\wedge$ 是exterior wedge product
        • $\omega_1\wedge \omega_2(\xi_{\sigma_1},\xi_{\sigma_2},\cdots,\xi_{\sigma_{m_1+m_2}}) = \sum_{\sigma\in S_{m_1+m_2}}\frac{(-1)^\sigma}{m_1 ! m_2 !} \omega_1(\xi_{\sigma_1},\xi_{\sigma_2},\cdots,\xi_{\sigma_{m_1}})\cdot\omega_2(\xi_{\sigma_1+1},\cdots,\xi_{\sigma_{m_1+m_2}})$
        • m个1-form的wedge product: $\omega_1\wedge\omega_2\wedge\cdots\wedge\omega_m(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_m)=det(\vert\omega_i(\xi_j)\vert_{ij})$
          • $\wedge$ 是 anti-symmetric: $\omega_{\sigma_1}\wedge \omega_{\sigma_2}\wedge\cdots\wedge\omega_{\sigma_m}=(-1)^\sigma \omega_1\wedge\omega_2\cdots\wedge\omega_k$  
          • 对参数也是skew-symmetric: $\omega(\xi_{\sigma_1},\xi_{\sigma_2},\cdots,\xi_{\sigma_m})=\omega_1\wedge\omega_2\wedge\cdots\wedge\omega_m(\xi_{\sigma_1},\xi_{\sigma_2},\cdots,\xi_{\sigma_m})=(-1)^\sigma \omega(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_m)$
    • exterior m-form可以做pull-back