conformal geometry学习 (七 ) – Duality, homology relation

Poincaré Duality

surface上的dual mesh

Voronoi diagram	Delaunay三角剖分
cell 中的点距离最小	顶点
顶点	三角形外接圆的圆心
边	dual 边的中垂线

2d 离散点集 -> Voronoi diagram -> Delaunay三角剖分

Voronoi diagram : 平面上的segment, 使每个区域离中间点距离最近
- 不同的distance函数会得到不同的segmentation
- 软件生成:
  - blender里的 Voronoi Texture
  - opencv 中 distance transform 再取局部最大值
Delaunay三角剖分
- 我们的point set是三角剖分的顶点, 边连接两个相邻Voronoi cell
- 特点:
  - 每个三角形的外接圆不包含其它的点
  - 最大化三角剖分三角形的最小角: 避免出现极瘦的三角形

homology定义

黑色为Delaunay triangulation $T$, 红色为Voronoi diagram $T^*$ , 红边是黑边的中垂线

Poincaré Duality: n-dim的manifold $M$, 三角剖分$T$, 和cell decomposition $T^*$ 对偶.
- 把每个k-simplex $\sigma$ 映射成(n-k)-cell $\sigma^\ast$: 对于包含$\sigma$ 的n-simplex $\Delta$, $\Delta\cap\sigma^*$ 是取$\sigma\subset …\subset \Delta$ 之间的simplex的barycentres(重心点) 的convex hull
  - 顶点(1-simplex) $\sigma$, 面(2-simplex) $\Delta$ , 灰色部分 $\Delta\cap\sigma^*$ 是顶点$\sigma$,两条边, 面$\Delta$ 的重心点的convex hull
  - $\sigma^*$ 只和$\sigma$ 相交, 这个intersection给出了对偶关系
- 把k-chain $C_k(T)$映射到(n-k)-chain $C_{n-k}(T^*)$ :
  - $C_{n-k}(T^\ast)$ 是定义在$T^\ast$ 的多边形cell上的? 这样也可以吗?
- 把$H_k(M,\mathbb Z)$ 映射到 $H_{n-k}(M,\mathbb Z)$: $H_k(M,\mathbb Z)\cong H_{n-k}(M,\mathbb Z)$

例子

closed oriented 曲面$S=T_1 \texttt{#}T_2 \texttt{#}\cdots \texttt{#} T_g$, 只有一个连通分支, $H_0(S,\mathbb Z)=H_2(S,\mathbb Z)=\mathbb Z$
closed oriented 三流型$M$, $H_0(M)=H_3(M)=\mathbb Z$. $H_2(M)=H^1(M)$.

Lefschetz Duality

在带边界($\partial M$)的manifold $M$上, Poincaré Duality的推广

相交关系: intersection form: $\omega: H_k(M,\mathbb Z)\times H_{n-k}(M,\partial M,\mathbb Z)\rightarrow \mathbb Z$
- 把k-chain(k-submanifold) $[S]$ 和(n-k)-submanifold $[S^\prime]$ 映射到它们的代数相交数(algebraic intersection number)
  - properly embedding(横截相交): $\partial S^\prime=\partial M\cap S^\prime$
  - $S$ 和 $S^\prime$ 的交点是isolated, 在交点x的方向($\pm 1$ )由$T_x S\oplus T_x S^\prime$ 和$T_x M$ 确定, 代数相交数是所有交点相交数相加
    - $M$ 是曲面, $S,S^\prime$ 是两条曲线的情况: 切向量的cross product和法向量方向确定
- $\omega$ 是symplectic(辛形式) , 即 $\omega$ 是non-degenerate + skew-symmetric(反交换)的
  - non-degenerate: 对于任何$\sigma$, $\omega(\sigma, \cdot)\ne 0$
相交关系-> 对偶关系: $H^k(M,\mathbb Z)\cong H_{n-k}(M,\partial M, \mathbb Z)$
- $\omega(\cdot,\sigma)\mapsto \sigma$

例子

如果$\partial M=\emptyset$, Lefschetz Duality退化成Poincaré Duality
connected, oriented, compact manifold $M$, $H^0(M,\mathbb Z)=H_n(M,\partial M,\mathbb Z)=\mathbb Z$
- $H_n(M,\partial M,\mathbb Z)$ 的元素 $[M]$ 由n-simplex的orientation确定, 叫M的 fundamental class

一些manifold特征

compact oriented connected n-manifold with (possibly empty) boundary $M$ , $H_k(M,\mathbb Z)\cong F_k\oplus T_k$
- $F_k$ 是自由生成群, $T_k$ 是torsion(挠, 阶数有限的部分)
k-th Betti number: $b_k(M)=rk(H_k(M,\mathbb Z))$
Euler characteristic (sheaf定义): $\chi(M)=\sum_{i=0}^n (-1)^ib_i$
- 如果$M$ 是compact三流型, $\chi(M)=\frac{1}{2}\chi(\partial M)$
  - 如果$M$ 是closed: $\chi(M)=0$
    - oriented : 由Poincaré duality, $b_i=b_{n-1}$ 相互抵消
    - non-orientable: 有一个oriented double cover N, $\chi(M)=\frac{1}{2}\chi(N)=0$
  - 如果M有boundary $\partial M$
    - 把两个$M$ 沿$\partial M$ 粘成一个double cover $N$ . $\chi(N)=2\chi(M)-\chi(\partial M)$

$M$ 是oriented compact 3-manifold的情况

Pasted image 20240805071909.png $M$(3-manifold) : 中间部分, $\alpha$(2-chain): 中间圆盘, $\beta$(1-chain): 沿边界的curve

有(relative homology) long exact sequence: $\cdots\rightarrow H_2(M,\partial M)\overset{\partial}\rightarrow H_{1}(\partial M)\overset{i_\ast}\rightarrow H_1(M)\cdots$
有Lefschetz duality: $\eta: H_2(M,\partial M,\mathbb Z)\times H_1(M,\mathbb Z) \rightarrow \mathbb Z$
有Poincaré duality: $\omega: H_1(\partial M)\times H_1(\partial M)\rightarrow Z$
边界surface $\partial M$ 有inherited orientation, 有 $H_1(\partial M)\cong \mathbb Z^{b_1(\partial M)}$ .
$H_2(M,\partial M,\mathbb Z)\cong \mathbb Z^{b_1(M)}\oplus T_2$ .

(2+3). 对任意$\alpha\in H_2(M,\partial M,\mathbb Z)$, $\beta\in H_1(\partial M)$ 有$\omega(\partial \alpha,\beta)=\eta(\alpha,i_\ast\beta)$ (curve $\beta$ 和$\alpha$ (圆盘)相交 = $\beta$ 和 $\alpha$ 的边界(圆)相交)

自身和边界的oriented dimension

free generated部分, $H_2(M,\partial M, \mathbb Z_2)$ 的曲面对应边界的meridians(纬线), 由Lefschetz duality和曲面对偶的curve对应边界的longitude(经线)部分

$\partial: H_2(M,\partial M,\mathbb Z)\rightarrow H_1(\partial M, \mathbb Z)$ 的image是 Lagrangian + max rank 的
- Lagrangian: $H_1(\partial M)$ 上的intersection form $\omega\vert_{\text{img}\partial}\equiv 0$ (所有的image curve, 图上$\partial \alpha$ ,不相交)
- maximal rank: $\text{img}\partial$ 是rank n的. ( $rk(\text{img}\partial)= \frac{b_1(\partial M)}{2}$ )
- 证明:
  - Lagrangian: $\omega(\partial \alpha,\partial \alpha^\prime)=\eta(\alpha,i_\ast\partial\alpha^\prime)=\eta(\alpha,0)=0$
    - long exact sequence: $\cdots\rightarrow H_2(M,\partial M)\overset{\partial}\rightarrow H_{1}(\partial M)\overset{i_\ast}\rightarrow H_1(M)\cdots$ 有$i_\ast\partial=0$
  - rank <= n: (由Poincaré duality)
    - $\omega$ 是symplectic 的 -> $H_1(\partial M)$ 上有basis $\lbrace x_1,\cdots,x_n,y_1,\cdots,y_n\rbrace$ , 使$\omega(x_k,y_k)=1$ , -> $\text{img}\partial$ 不能同时包含各组中的 $x_k,y_k$ -> rank <= n.
  - rank >= n: (由Lefschetz duality + exact sequence)
    - 有以下关系:
      - $rk(H_2(M,\partial M))=rk(H_1(M))=b_1(M)$ : 由Lefschetz duality
      - $rk(H_1(\partial M))=b_1(\partial M)$
      - $b_1(M)=rk(\text{ker}\partial) +rk(\text{img }\partial)$ : 由$\partial$ 的构造
      - $b_1(\partial M)=rk(\text{ker }i_\ast)+rk(\text{img }i_\ast)$ : 由 $i_\ast$ 的构造
      - $rk(\text{img}\partial)=rk(\text{ker }i_\ast)$ : 由exact sequence可得
      - $rk(\text{ker}\partial)+rk(\text{img }i_\ast)\le b_1(M)$ : 对 $\alpha\in \text{ker}\partial$ , 有 $\eta(\alpha,i_\ast \beta)=\omega(\partial \alpha,\beta)=\omega(0,\beta)=0$ -> $\text{ker}\partial\perp_\eta \text{img }i_\ast$
    - 解得$\text{img}\partial$ 和$b_1(\partial M)$ 的关系
      - $rk(\text{img}\partial)>=b_1(\partial M)/2$
$b_1(M)\ge \frac{b_1(\partial M)}{2}$ (由Lefschetz duality, $b_1(M)=rk(H_2(M,\partial M))>rk(\text{img}\partial)$ )
- $b_1(M)=0$ -> $b_1(\partial M)=0$ : 如果$M$ 是simply connected, $\partial M$ 由sphere组成

non-orientable embedding曲面

torsion部分, 由Lefschetz duality和曲面对偶的curve在曲面的tubular neighborhood里

non-orientable 曲面$S$ 嵌入$M$ (properly embedding: 横截相交, $\partial S=\partial M\cap S$ )
- 每个曲面$S$ 定义$H_2(M,\partial M, \mathbb Z_2)$ 中的一个non-trival class
- $M$ 最多包含 $\text{dim} H_2(M,\partial M, \mathbb Z_2)$ 个不相交的non-orientable 曲面
  - 对于每个non-orientable 曲面$S$, 把$S$ 加厚, 得到tubular neighborhood $S\times I$
  - tubular neighborhood的boundary 给出了$S$ 的一个double cover $\tilde S$
  - $S$ 上过$p$ 点的closed loop $\gamma$ , lift to $\tilde \gamma$ + 把$\tilde p_1$ 和 $\tilde p_2$ 连上得到的$\tilde \eta$ = closed loop $\alpha=\tilde \gamma \cdot \tilde \eta$ , $\alpha$ 和 $S$ 只交于一点
  - 所有的$\alpha_i$ 不相交, 是linearly independent的, 最多有 $\text{dim} H_2(M,\partial M, \mathbb Z_2)$ 个
$b_1(M)=0$ -> $\text{dim} H_2(M,\partial M, \mathbb Z_2)=0$ : 如果$M$ 是simply connected, 不包含non-orientable 曲面

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